в биологии применяются для моделирования (См. Моделирование) биологических структур, функций и процессов на разных уровнях организации живого: молекулярном, субклеточном, клеточном, органно-системном, организменном и популяционно-биоценотическом. Возможно также моделирование различных биологических феноменов, а также условий жизнедеятельности отдельных особей, популяций и экосистем.

В биологии применяются в основном три вида М.: биологические, физико-химические и математические (логико-математические). Биологические М. воспроизводят на лабораторных животных определённые состояния или заболевания, встречающиеся у человека или животных. Это позволяет изучать в эксперименте механизмы возникновения данного состояния или заболевания, его течение и исход, воздействовать на его протекание. Примеры таких М. - искусственно вызванные генетические нарушения, инфекционные процессы, интоксикации, воспроизведение гипертонического и гипоксического состоянии, злокачественных новообразований, гиперфункции или гипофункции некоторых органов, а также неврозов и эмоциональных состояний. Для создания биологической М. применяют различные способы воздействия на генетический аппарат, заражение микробами, введение токсинов, удаление отдельных органов или введение продуктов их жизнедеятельности (например, гормонов), различные воздействия на центральную и периферическую нервную систему, исключение из пищи тех или иных веществ, помещение в искусственно создаваемую среду обитания и многие другие способы. Биологические М. широко используются в генетике, физиологии, фармакологии.

Физико-химические М. воспроизводят физическими или химическими средствами биологические структуры, функции или процессы и, как правило, являются далёким подобием моделируемого биологического явления. Начиная с 60-х гг. 19 в. были сделаны попытки создания физико-химической М. структуры и некоторых функций клеток. Так, немецкий учёный М. Траубе (1867) имитировал рост живой клетки, выращивая кристаллы CuSО₄ в водном растворе К₄[Fе(СN)₆]: французский физик С. Ледюк (1907), погружая в насыщенный раствор К₃РО₄ сплавленный СаСl₂, получил - благодаря действию сил поверхностного натяжения и осмоса - структуры, внешне напоминающие водоросли и грибы. Смешивая оливковое масло с разными растворимыми в воде веществами и помещая эту смесь в каплю воды, О. Бючли (1892) получал микроскопические пены, имевшие внешнее сходство с протоплазмой; такая М. воспроизводила даже амёбоидное движение. С 60-х гг. 19 в. предлагались также разные физические М. проведения возбуждения по нерву. В М., созданной итальянским учёным К. Маттеуччи и немецким - Л. Германом, нерв был представлен в виде проволоки, окруженной оболочкой из проводника второго рода. При соединении оболочки и проволоки с гальванометром наблюдалась разность потенциалов, изменявшаяся при нанесении на участок "нерва" электрического "раздражения". Такая М. воспроизводила некоторые биоэлектрические явления при возбуждении нерва. Французский учёный Р. Лилли на М. распространяющейся по нерву волны возбуждения воспроизвёл ряд явлений, наблюдаемых в нервных волокнах (рефрактерный период, "всё или ничего" закон (См. Всё или ничего закон), двустороннее проведение). М. представляла собой стальную проволоку, которую помещали сначала в крепкую, а затем в слабую азотную кислоту. Проволока покрывалась окислом, который восстанавливался при ряде воздействий; возникший в одном участке процесс восстановления распространялся вдоль проволоки. Подобные М., показавшие возможность воспроизведения некоторых свойств и проявлений живого посредством физико-химических явлений, основаны на внешнем качественном сходстве и представляют лишь исторический интерес.

Позднее более сложные М., основанные на гораздо более глубоком количественном подобии, строились на принципах электротехники и электроники. Так, на основе данных электрофизиологических исследований были построены электронные схемы, моделирующие Биоэлектрические потенциалы в нервной клетке, её отростке и в синапсе (См. Синапсы). Построены также механические машины с электронным управлением, моделирующие сложные акты поведения (образование условного рефлекса (См. Условные рефлексы), процессы центрального торможения (См. Торможение) и пр.). Этим М. обычно придают форму мыши, черепахи, собаки (см. рис. 1-3). Такие М. также слишком упрощают явления, наблюдаемые в организме, и имеют большее значение для бионики (См. Бионика), чем для биологии.

Значительно бо́льшие успехи достигнуты в моделировании физико-химических условий существования живых организмов или их органов и клеток. Так, подобраны растворы неорганических и органических веществ (растворы Рингера, Локка, Тироде и др.), имитирующие внутреннюю среду организма и поддерживающие существование изолированных органов или культивируемых вне организма клеток (см. Культуры тканей).

М. биологических мембран (См. Биологические мембраны) (плёнка из природных фосфолипидов разделяет раствор электролита) позволяют исследовать физико-химические основы процессов транспорта ионов и влияние на него различных факторов. С помощью химических реакций, протекающих в растворах в автоколебательном режиме, моделируют колебательные процессы, характерные для многих биологических феноменов, - дифференцировки, морфогенеза, явлений в сложных нейронных сетях и т. д.

Математические М. (математическое и логико-математическое описания структуры, связей и закономерностей функционирования живых систем) строятся на основе данных эксперимента или умозрительно, формализованно описывают гипотезу, теорию или открытую закономерность того или иного биологического феномена и требуют дальнейшей опытной проверки. Различные варианты подобных экспериментов выявляют границы применения математической М. и дают материал для её дальнейшей корректировки. Вместе с тем "проигрывание" математического М. биологического явления на ЭВМ часто позволяет предвидеть характер изменения исследуемого биологического процесса в условиях, трудно воспроизводимых в эксперименте. Математическая М. в отдельных случаях позволяет предсказать некоторые явления, ранее не известные исследователю. Так, М. сердечной деятельности, предложенная голландскими учёными ван дер Полом и ван дер Марком, основанная на теории релаксационных колебаний, указала на возможность особого нарушения сердечного ритма, впоследствии обнаруженного у человека. Из математической М. физиологических явлений следует назвать также М. возбуждения нервного волокна, разработанную английскими учёными А. Ходжкином и А. Хаксли. На основе теории нервных сетей американских учёных У. Мак-Каллока и У. Питса строятся логико-математические модели взаимодействия Нейронов. Системы дифференциальных и интегральных уравнений положены в основу моделирования биоценозов (В. Вольтерра, А. Н. Колмогоров). Марковская математическая М. процесса эволюции построена О. С. Кулагиной и А. А. Ляпуновым. И. М. Гельфандом и М. Л. Цетлиным на основе теории игр и теории конечных автоматов разработаны модельные представления об организации сложных форм поведения. В частности, показано, что управление многочисленными мышцами тела строится на основе выработки в нервной системе некоторых функциональных блоков - синергий, а не путём независимого управления каждой мышцей. Создание и использование математических и логико-математических М., их совершенствование способствуют дальнейшему развитию математической и теоретической биологии.

Лит.: Моделирование в биологии. Сб. ст., пер. с англ., М., 1963; Новик И. Б., О моделировании сложных систем, М., 1965; Кулагина О. С., Ляпунов А. А., К вопросу о моделировании эволюционного процесса, в кн.: Проблемы кибернетики, в. 16, М., 1966; Модели структурно-функциональной организации некоторых биологических систем. [Сб. ст.], М., 1966; Математическое моделирование жизненных процессов. Сб. ст., М., 1968; Теоретическая и математическая биология, пер. с англ., М., 1968; Моделирование в биологии и медицине, Л., 1969; Бейли Н., Математика в биологии и медицине, пер. с англ., М., 1970; Управление и информационные процессы в живой природе, М., 1971; Эйген М., Молекулярная самоорганизация и ранние стадии эволюции, "Успехи физических наук", 1973, т. 109, в. 3.

Е. Б. Бабский, Е. С. Геллер.

Рис. 1. Общий вид "черепахи" Института автоматики и телемеханики АН СССР.

Рис. 2. "Мышь" К. Шеннона - автомат, моделирующий "обучение" при повторном прохождении лабиринта.

Рис. 3. К. Шеннон пускает "мышь" в лабиринт.

в экономике используются начиная с 18 в. В "Экономических таблицах" Ф. Кенэ, которые К. Маркс назвал идеей "...бесспорно самой гениальной из всех, какие только выдвинула до сего времени политическая экономия" (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 26, ч. 1, с. 345), по существу была впервые сделана попытка формализации всего процесса общественного воспроизводства (См. Воспроизводство). Огромное влияние на экономическую науку оказали схемы воспроизводства, созданные Марксом и развитые В. И. Лениным. Непосредственным следствием этого подхода явилась теория межотраслевого баланса (см. Баланс межотраслевой).

Особенно широко М. употребляются в экономических исследованиях начиная с середины 20 в., когда возник ряд новых областей математики (см., например, Операций исследование) и были созданы электронные вычислительные машины (ЭВМ). Экономико-математические М. используют за рубежом такие учёные, как Л. Вальрас, Дж. Нейман (создатель первой ЭВМ и один из основоположников игр теории (См. Игр теория) и вообще математической экономики), Дж. М. Кейнс, Р. Фриш, Я. Тинберген, П. Сэмюэлсон, К. Арроу, В. Леонтьев, а также Г. Дж. Данциг, Дж. Дебре, Т. Купманс, Х. Никайдо, М. Морисима, Р. Харрод, Дж. Хикс.

В СССР развитие метода М. в экономике связано прежде всего с именами Л. В. Канторовича (впервые в мировой науке сформулировал М. социалистической экономики в виде математической задачи линейного программирования (См. Линейное программирование)), А. Л. Лурье, В. С. Немчинова, В. В. Новожилова, а также А. Г. Аганбегяна, А. Л. Вайнштейна, В. А. Волконского, Л. М. Дудкина, А. А. Макарова, В. Л. Макарова, С. М. Мовшовича, Ю. А. Олейника, В. Ф. Пугачёва, Е. Ю. Фаермана, Н. П. Федоренко, С. С. Шаталина.

Процесс экономического исследования с помощью М. можно условно подразделить на ряд этапов. На первом этапе формулируется общая задача, в соответствии с которой фиксируется объект исследования (например, мировая экономика в целом, экономика мирового капиталистического и социалистического хозяйства, отдельные страны, отрасли, предприятия, фирмы или определённый аспект функционирования экономических систем: спрос и потребление, распределение доходов, ценообразование и т. п.). Далее выдвигаются требования к характеру исходной информации, которая может быть статистической (получаемой в результате наблюдений за ходом экономических процессов) или нормативной (коэффициенты затрат выпуска, рациональные нормы потребления). Затем изучаются наиболее простые (исходные) свойства моделируемого объекта и выдвигаются гипотезы о характере его развития. Так, для решения ряда задач эффективного управления экономической системой фундаментальное значение имеют такие свойства, как ограниченность в каждый момент времени материальных, трудовых и природных ресурсов, достигнутый уровень научно-технических знаний общества, определяющий набор технологических способов получения нужных продуктов из имеющихся ресурсов, а также многовариантность допустимых траекторий экономического развития (диктующая задачу выработки критерия выбора наиболее эффективной траектории).

Информация, полученная на первом этапе, нужна для создания М. экономической системы, которая и составляет содержание второго этапа. Для изучения различных аспектов функционирования экономических систем используются разные М. Наиболее общие закономерности развития экономики исследуются при помощи народно-хозяйственных М. (балансовых, оптимизационных, равновесных, игровых и др.). Для анализа и прогнозов динамики и соотношения различных синтетических показателей (национального дохода, занятости, процента на фонды, потребления, сбережений, инвестиций и т. п.) применяются макроэкономические М., а исследование конкретных хозяйственной ситуации производится с помощью микроэкономической М. производства, транспорта, торговли, снабжения и сбыта и т. п. Для исследования сложных экономических систем используются преимущественно математические М., ибо они лучше всего приспособлены для анализа простейших экономических процессов (например, на транспорте), - т. н. аналоговые М. (электрические, механические, гидравлические). Начиная с 1960-х гг. большую известность приобрели т. н. имитационные М., используемые для изучения реальных процессов функционирования экономических систем в тех случаях, когда их математический анализ затруднён или невозможен (и в определенной степени заменяющие экспериментальное изучение экономических систем), а также применяемые для обучения руководителей правилам наиболее эффективного ведения хозяйства (т. н. деловые игры). Экономические М. классифицируются по следующим основным критериям: целям и задачам, объекту, применяемому аппарату исследования, характеру исходной информации. С точки зрения последнего критерия различаются статистические и нормативные модели. Все эти классификации, разумеется, весьма условны, т. к. реальные М. могут занимать промежуточное положение (например, часть информации задаётся нормативно, а часть из статистического анализа поведения экономической системы). Кроме того, более общие М. могут включать в себя частные. Например, элементом М. народного хозяйства страны могут быть М. отраслей, предприятий и т. д, (субмодели), и наоборот, в локальные М. вводятся требования, вытекающие из анализа всей экономики.

На этапе построения математических М. результаты эмпирического исследования переводятся со специфического языка исследуемого объекта на универсальный математический язык, выбирается схема (конструкция) М., вводятся основные переменные, параметры и функциональные зависимости. Затем полученная М. сопоставляется с уже имеющимися. Если оказывается, что М. данного класса достаточно хорошо изучены и существуют готовые методы их анализа, то можно решать соответствующую математическую задачу. В противном же случае возникает вопрос, нельзя ли так упростить предпосылки М., чтобы она не утратила существенных специфических черт исследуемого объекта, и в то же время подвести её под класс структур, уже изученных математикой. В свою очередь, построение М. с ещё не изученными свойствами стимулирует развитие новых математических направлений.

Третий этап - математический анализ М., служащий средством получения не только количественных, но и качественных выводов. (Здесь важно уяснить, на какие вопросы можно получить ответ с помощью М., а на какие - нет; типичная ошибка - попытка объяснить с помощью анализа М. круг явлений, выходящих за её пределы.) Качественные выводы, получаемые из анализа экономических М., позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства экономической системы: её структуру, динамику развития, устойчивость, соотношения макроэкономических параметров, свойства ценностных показателей и т. п. Например, К. Маркс из своих схем воспроизводства получил соотношение между постоянным капиталом первого подразделения и переменным капиталом и прибавочной стоимостью второго подразделения. Ленинские схемы воспроизводства позволили установить, при каком характере технического прогресса имеет место закон преимущественного роста производства средств производства. На основе т. н. М. сбалансированного роста удалось выяснить асимптотические свойства эффективных экономических траекторий - тенденцию к стационарному развитию с максимальным темпом. С помощью М. оптимального планирования исследуются теоретические проблемы ценообразования.

К количественным выводам из экономических М. относятся оптимальные планы развития тех или иных хозяйственных ячеек, прогнозы экономической динамики, расчёты цен, уже сейчас дающие большой экономический эффект. Соответствующие экономические М. являются важным элементом автоматизированных систем управления. Требования к разным М. различны. От теоретических (абстрактных) М. требуется отображение лишь самых общих свойств экономических систем. С помощью математических методов здесь доказывается существование эффективного (равновесного, оптимального) состояния (траектории) системы, а затем изучаются его свойства. Если возможно, определяется также Алгоритм отыскания эффективного состояния (алгоритмом решения экономической задачи часто служит отображение процессов, реально протекающих в моделируемом объекте). М., используемые для конкретных расчётов, имеют в качестве своей теоретической базы абстрактные М. и результаты их анализа. Конкретные М. достаточно полно отражают специфические особенности исследуемого объекта, ибо в противном случае расчёты, осуществляемые на их основе, не могут быть использованы на практике. Рассматриваемый этап завершается экономической интерпретацией полученных результатов: математические понятия переводятся на язык изучаемого объекта. Качественные результаты интерпретируются как свойства и закономерности развития экономической системы, алгоритм - как механизм её планирования и функционирования, числовые результаты - как планы или прогнозы.

Прежде чем использовать полученные выводы в теории или на практике, необходимо провести четвёртый этап исследования "моделирования" - проверку полученных результатов. Здесь перед исследователем встают огромные трудности. Обычные способы естественных наук - эксперимент, сопоставление полученных результатов с характеристиками реальных процессов - применимы далеко не всегда. Например, если программа развития хозяйственного объекта, полученная с помощью М., показывает возможности улучшения практики, то ещё не ясно, вызвано ли это действительно несовершенством существующих методов планирования, управления и стимулирования или тем, что в исходной М. не учтены некоторые существенные условия, имеющие место в реальности, и намеченные улучшения неосуществимы. Поэтому особо важна теоретическая проверка правильности исходных предпосылок М., которую необходимо провести ещё на первом этапе исследования. Гораздо реже применяется эксперимент на объекте или на имитирующей его М. (например, аналоговом устройстве), дающий возможность проверить результаты моделирования, т. к. это связано с большими затратами, а натурный эксперимент - ещё и с рядом трудностей социально-экономического характера.

Последний, пятый этап - внедрение - должен приводить (в случае положительного исхода предшествующего этапа) к совершенствованию экономической теории и методов управления экономическими процессами, цен, планов хозяйственного развития. В противном случае необходимо уточнить исходные предпосылки М., т. е. вновь пройти все перечисленные этапы. Т. о., исследование экономических систем с помощью М. носит конструктивный характер. В капиталистическом обществе М. дают определённый эффект, главным образом в пределах фирмы. Практическое же применение М. в масштабе всей страны существенно ограничено в силу присущих капитализму антагонистических противоречий. В условиях же социализма открываются принципиально новые возможности использования М. для решения проблем планирования и управления всем народным хозяйством.

Использование М. в экономике имеет определённые границы применения: не вся информация об экономических процессах может быть полностью формализована и не вся является доступной, не всякая М. поддаётся теоретическому анализу. Кроме того, даже самые современные вычислительные средства не могут справиться с громадным объёмом вычислений, которые необходимо провести, чтобы решить некоторые конкретные экономические задачи. Поэтому применение М. должно дополняться др. методами, в том числе использованием опыта хозяйственных руководителей. В свою очередь, результаты расчётов, проведённых на основе М., могут оказать существенную помощь хозяйственным руководителям в деле управления.

Лит.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23-25; Ленин В. И., По поводу так называемого вопроса о рынках, Полн. собр. соч., 5 изд., т. 1; его же, К характеристике экономического романтизма, там же, т. 2; Канторович Л. В., Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов, М., 1959; Новожилов В. В., Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании, М., 1967; Неиман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Воспроизводство и экономический оптимум, М., 1972; Кунявский М. С., Отношения непосредственного производства при социализме, Минск, 1972; Лурье А. Л., Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства, М., 1973; Агrow К., Hahn F., General competitive analisis, S. F., 1971.

Ю. В. Овсиенко.

в языкознании, используются в структурной лингвистике при описании языка и его отдельных аспектов (фонологических, грамматических, лексических и других систем) для уточнения лингвистических понятий и связей между ними, что помогает выявить структуры, лежащие в основе бесконечного разнообразия языковых явлений (М. иногда называют сами эти структуры). В зависимости от области применения М. делятся на фонологические, морфологические, синтаксические, семантические. При построении М. используются средства и методы математической лингвистики. В любой М. фиксируются: объекты, соответствующие данным непосредственного наблюдения, - множества звуков, слов, предложений; объекты, конструируемые исследователем для описания ("конструкты"), - заранее заданные строго ограниченные наборы категорий, признаков, элементарных смысловых структур и т. п.

Если исходный материал ("вход") при исследовании - звуки, слова, предложения, а результат ("выход") - категории и смысловые структуры, то М. называют аналитической. Такова М. категории Рода, дающая однозначное решение спорных вопросов. Принадлежность к грамматическому роду может определяться формой слова (например, в русском языке слова, оканчивающиеся на "-а", обычно женского рода, но этот признак не однозначен, ср. "папа"), значением (слова, обозначающие существа женского пола, относятся к женскому роду, но и этот признак не однозначен, ср. в немецком языке das Weib - "женщина" - среднего рода). В М. рода считается, что для каждого слова задана система его форм (например, стол, стола, столу...) и известно, какие словоформы согласуются с данной словоформой (например, этот стол, этого стола...). Два слова х (стол) и у (какаду) относятся к одному роду, если для любой формы х¹ слова х и любой словоформы z, согласуемой с x¹, найдётся форма y¹ слова у, согласуемая с z (этот какаду, этого какаду), причём обратное верно для любой формы y¹ слова у. Эта М. даёт возможность не только однозначно решать спорные вопросы, но и сопоставить категорию рода с категорией Части речи (род оказывается "вложенным" в часть речи); установить, какие категории других частей речи устроены изоморфно (аналогично) с родом существительного (например, категория глагольного управления); сравнить категорию рода в русском и других индоевропейских языках с категорией грамматического класса, например в языках Банту. Т. о., аналитические М. находят применение в типологии (См. Типология) языков.

Если исходный материал - категории и элементарные смысловые структуры, а "выход" - некоторые формальные построения, то М. называется синтетической, или порождающей (такие М. называют также порождающими грамматиками, см. Грамматика формальная, Математическая лингвистика). Порождающая М. воплощает в себе некоторую гипотезу о внутреннем (недоступном прямому наблюдению) строении языка, которая затем проверяется путём сравнения множества выводимых в М. объектов с реальными языковыми фактами. Это позволяет классифицировать и оценивать М. по степени соответствия фактам языка и по степени раскрытия интуитивно ощущаемых закономерностей языка ("объяснительной силе"). Т. к. каждая М. описывает не весь язык, а некоторую его область или даже отдельную категорию, то точное описание языка предполагает одновременное использование разных М., относящихся как к одной области языка (например, несколько дополняющих друг друга М. категорий части речи, падежа, рода), так и к разным областям.

Лит.: Апресян Ю. Д., Идеи и методы современной структурной лингвистики, М., 1966; Ревзин И. И., Метод моделирования и типология славянских языков, М., 1967; Маркус С., Теоретико-множественные модели языков, пер. с англ., М., 1970; Хомский Н., Аспекты теории синтаксиса, пер. с англ., М., 1972.

И. И. Ревзин.